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Stabilität und Polynome

1. Satz: Stabilitätskriterium von Routh/Hurwitz, nach Routh, Edward John (1831--1907), Hurwitz, Adolf (1859--1919).

Voraussetzungen: Es sei

$$ p(z) = a_0z^n + a_1z^{n-1} + \cdots + a_{n-1}z + a_n = a_0 (z - \lambda_1) \ldots (z - \lambda_n) $$

ein beliebiges komplexes Polynom mit Koeffizienten $a_i\in\mathbb{C}$ und Nullstellen $\lambda_i\in\mathbb{C}$. Weiter sei

$$ \displaylines{ \Delta_1 = a_1, \qquad \Delta_2 = \left|\matrix{a_1&a_3\cr a_0&a_2\cr}\right|, \qquad \Delta_3 = \left|\matrix{a_1&a_3&a_5\cr a_0&a_2&a_4\cr 0&a_1&a_3\cr}\right|, \quad\ldots, \cr \Delta_n = \left|\matrix{ a_1 & a_3 & \ldots\cr a_0 & a_2 & \ldots\cr & a_1 & a_3 & \ldots\cr & a_0 & a_2 & \ldots\cr && a_1 & a_3 & \ldots\cr && a_0 & a_2 & \ldots\cr &&& \ddots & \ddots\cr & 0 &&& a_1 & a_3 & \ldots\cr & &&& a_0 & a_3 & \ldots\cr }\right|, \cr } $$

mit der Vereinbarung $a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots=0$.

Behauptung: $\mathop{\rm Re}\nolimits \lambda_i<0$ genau dann, wenn

$$ a_0\Delta_1\gt 0,\: \Delta_2\gt 0,\: a_0\Delta_3\gt 0,\: \Delta_4\gt 0,\: \ldots,\: \cases{a_n\Delta_n\gt 0, & $n$ gerade,\cr \Delta_n\gt 0, & $n$ ungerade.\cr} $$

Für $a_0>0$ also $\Delta_i>0$, $i=1,\ldots,n$.

Beweis: Siehe das Buch von Gantmacher, Felix Ruvimovich (1908--1964), Gantmacher (1986), §16.6, "Matrizentheorie", Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, Übersetzung aus dem Russischen von Helmut Boseck, Dietmar Soyka und Klaus Stengert, 1986, 654 S.     ☐

Der obige Satz ist ein Spezialfall des allgemeinen Satzes von Routh/Hurwitz, der es erlaubt die genaue Anzahl der Nullstellen mit echt negativen Realteil genau anzugeben. Der folgende Satz von Liénard/Chipart aus dem Jahre 1914 hat gegenüber dem Stabilitäskriterium von Routh/Hurwitz den Vorteil, nur etwa halb so viele Minoren auf ihr Vorzeichen zu untersuchen.

2. Satz: Stabilitätskriterium von Liénard/Chipart nach Chipart, A.H., Liénard, Alfred-Marie (1869--1958).

Behauptung: $\mathop{\rm Re}\nolimits \lambda_i<0$ ist äquivalent zu einer der folgenden 4 Aussagen:

(1)     $a_n>0$, $a_{n-2}>0$, $\ldots$; $\Delta_1>0$, $\Delta_3>0$, $\ldots$,

(2)     $a_n>0$, $a_{n-2}>0$, $\ldots$; $\Delta_2>0$, $\Delta_4>0$, $\ldots$,

(3)     $a_n>0$, $a_{n-1}>0$, $a_{n-3}>0$, $\ldots$; $\Delta_1>0$, $\Delta_3>0$, $\ldots$,

(4)     $a_n>0$, $a_{n-1}>0$, $a_{n-3}>0$, $\ldots$; $\Delta_2>0$, $\Delta_4>0$, $\ldots.$

Beweis: Siehe erneut Gantmacher (1986), §16.13.     ☐

Für die Überprüfung eines vorgelegten Polynoms wählt man dann zweckmässigerweise von den vier Bedingungen diejenige, sodaß $\Delta_{n-1}$ oder $\Delta_n$ die geringere Zeilenzahl hat.