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Die Formel von Faà di Bruno

Die Formel von Faà di Bruno, Faà di Bruno, Francesco (1825--1888), verallgemeinert die Kettenregel auf die Form für beliebig hohe Ableitungen.

1. Satz: Formel von Faà di Bruno Es hänge $w$ von $u$ ab, $u$ ist hierbei Funktion von $x$. Es sei $D_x^k u$ die $k$-te Ableitung von $u$ nach $x$. Dann gilt

$$ D_x^n w = \sum_{j=0}^n \sum_{\scriptstyle{k_1+k_2+\cdots+k_n=j}\atop {\scriptstyle{k_1+2k_2+\cdots+nk_n=n}\atop \scriptstyle{k_1,k_2,\ldots,k_n\ge0}}} {n!{\mskip 3mu} D_u^j w\over k_1! (1!)^{k_1} \cdots k_n! (n!)^{k_n}} (D_x^1 u)^{k_1} \ldots D_x^n u)^{k_n}. $$

Beweis: Siehe Knuth, Donald Ervin (*1938), The Art of Computer Programming, Volume 1 -- Fundamental Algorithms, Addison-Wesley Publishing Company, Reading (Massachusetts) Menlo Park (California) London Sydney Manila, 1972, second printing, xxi+634 S. Siehe McEliece im o.a. Buch von Knuth, McEliece, Robert James. Bezeichnet $c(n,j,k_1,k_2,\ldots)$ den Bruchterm, so rechnet man durch Differenzieren

$$ \eqalignno{ c(n+1,j,k_1,\ldots){}={}& c(n,j-1,k_2,\ldots)\cr & {}+(k_1+1){\mskip 3mu}c(n,j,k_1+1,k_2-1,k_3,\ldots)\cr & {}+(k_2+1){\mskip 3mu}c(n,j,k_1,k_2+1,k_3-1,k_4,\ldots) + \ldots {\mskip 3mu}. } $$

Hierbei ist es von Vorteil unendlich viele $k_i$ anzunehmen, obwohl $k_{n+1}=k_{n+2}=\cdots=0$. Im Induktionsschritt sind $k_1+\cdots+k_n=j$ und $k_1+2k_2+\cdots+nk_n=n$ Invarianten. Man kann nun $n! / k_1! (1!)^{k_1} k_2! (2!)^{k_2}\ldots$ kürzen und gelangt dann zu $k_1+2k_2+\cdots=n+1$. Man vgl. auch Bourbaki und Schwartz.     ☐