12th April 2026, 30 min read

Häufig vorkommende Test-Differentialgleichungen

• 1. Die steifen Gleichungen aus STDTST
• 2. Die nicht-steifen Gleichungen aus NSDTST
• 3. Weitere Testgleichungen
• 4. Literatur

The fragments of theory available for stiff problems give a great deal of attention to model problems.

L.F. Shampine (1980)

Es [das Buch] zeigt auch, wie der Numeriker abstrakte Theorie, die Untersuchung spezieller Situationen und Modellprobleme, heuristische Vorgehensweise und sorgfältige Versuche vermischen muß, um effektive Codes zu produzieren.

L.F. Shampine, M.K. Gordon (1984)

In diesem Abschnitt sollen kurz diejenigen Testgleichungen angeschrieben werden, an denen vielfach verschiedene Implementierungen, verschiedene Formeln und Programme einander gegenübergestellt und miteinander verglichen werden. Öfters haben die angegebenen Differentialgleichungen keine angebbare formelmässige Lösung, was nichts Ungewöhnliches ist, insbesondere bei der praktischen Lösung. In diesem Falle werden bei einem Vergleich einfach Integrierroutinen genommen, welche man mit sehr hoher Genauigkeitsanforderung auf das zu untersuchende Problem ansetzt. Dies ist natürlich stellenweise nicht ganz vollständig einsichtig, da ja unter anderem die Genauigkeit gerade ein Kriterium ist, welches mitbewertet wird. Dennoch hat sich diese Praxis durchgesetzt.

Zu der Problematik der Wahl von solchen Testgleichungen äußert sich Shampine (1981b) in sehr ausführlicher Form.

Es gibt eine Reihe von Schwierigkeiten bei dem Vergleich von verschiedenen Programmen. Man denke an den Fall, daß eine Differentialgleichung von dem einen Programm nicht gelöst wird, während die Gleichung von dem anderen Programm doch gelöst wird, jedoch in einem anderem Fall, die Genauigkeiten sehr zu Ungunsten des letztgenannten Programmes ausfallen. Dennoch, die Gleichungen liefern ein gutes Indiz, in welchem Problembereich der Integrator gut und zuverlässig arbeitet.

Deutlich werden auch grundsätzliche Effizienzunterschiede. Zu diesem Abschnitt vergleiche man auch die Aufsätze von Enright/Hull/Fellen/Sedgwick (1972), Enright/Hull/Lindberg (1975) und Enright/Pryce (1987).

Die Differentialgleichungen A1 bis F5, NA1 bis NE5 sind vielfach verwendete Testgleichungen. Weiterhin werden auch Differentialgleichungen aus den Anwendungen angegeben.

1. Die steifen Gleichungen aus STDTST

Es werden zuerst die 30 steifen Differentialgleichungen aufgeführt.

Gupta (1985) äußert sich bei dem Vergleich seines Programmes DSTIFF mit LSODE zu den folgenden Gleichungen qualitativ.

Die Lösungsformel für lineare, zeitinvariante Differentialgleichungen der Form

lautet

falls $A$ diagonalähnlich mit den $n$, nicht notwendig verschiedenen, Eigenwerten $\lambda_i$ ($i=1,\ldots,n$) ist.

A. Problemklasse A: Diese 4 Differentialgleichungen sind sämtlich linear, und die Eigenwerte der Jacobimatrix sind konstant, alle reell und stets negativ.

A1:

A2:

A3:

A4:

B. Die Problemklasse B enthält 5, sehr ähnlich aufgebaute, wiederum lineare Gleichungen, wobei die Eigenwerte der Jacobimatrix zwar alle konstant sind, jedoch nicht mehr reell sind. Sie liegen stets in der linken Halbebene. Integriert wird immer von $t=0$ bis $t=20$.

B1:

B2:

B3: Wie B2, jedoch mit $\alpha=8$.

B4: Wie B2, jedoch mit $\alpha=25$.

B5: Wie B2, jedoch mit $\alpha=100$.

C. Die Problemklasse C besteht nun aus nichtlinearen Differentialgleichungssystemen, die stets die Dimension 4 haben, also relativ klein sind. Integriert wird wie schon bei der Problemgruppe B immer vom Zeitpunkt $t=0$ bis zur Zeit $t=20$. Es sei darauf hingewiesen, daß untere Indices stets die Komponenten eines Vektors bezeichnen und obere Indices stets Exponenten. Startschrittweite ist hier immer $h_0=10^{-2}$.

C1:

C2:

C3: Wie C2, jedoch mit $\beta=1$.

C4: Wie C2, jedoch mit $\beta=10$.

C5: Wie C2, jedoch mit $\beta=20$.

D. Die Problemgruppe D besteht aus relativ kleinen, nichtlinearen Testgleichungen, wobei die Eigenwerte der Jacobimatrix stets reell sind.

D1:

D2:

D3:

D4:

D5:

D6:

E. Die Problemgruppe E besteht wie die vorhergehende Klasse D aus nichtlinearen, relativ kleinen Testdifferentialgleichungen. Dabei sind die Eigenwerte der Jacobimatrix nicht mehr reell. Wie schon bei der Problemgruppe D ändern sich diese Eigenwerte mit fortschreitender Zeit $t$.

E1:

wobei

E2: van der Pol Oszillator

E3:

E4:

wobei

E5:

F. Die letzte Gruppe an steifen Testgleichungen kam erst später zu den obigen steifen Gleichungen hinzu. Die Differentialgleichungen entstammen aus der chemischen Kinetik. Ihre Dimension ist ebenfalls gering. Die Gleichungen sind nichtlinear und stellen hohe Ansprüche an den Integrator, wenn es darum geht den globalen Fehler gering zu halten.

F1:

F2:

F3:

F4: Dies ist die Gleichung von Field-Noyes für chemische Oszillationen von Richard J. Field und Richard M. Noyes. Diese Gleichung beschreibt einen chemischen Oszillator, weil die Konzentrationen der chemischen Ingredienzen periodisch in der Zeit variieren.

F5:

G. Diese Problemklasse ist nicht in STDTST, jedoch wird sie vielfach im Zusammenhang mit Problemen aus stiff DETEST benutzt. Die Gleichungen gehen auf H.O. Kreiss zurück. Die Grundgleichung lautet

wobei

G1: Hier ist $\zeta=10$ und $\vartheta=0$.

G2: Hier ist $\zeta=10$ und $\vartheta=-1$.

G3: Hier ist $\zeta=10$ und $\vartheta=-4$.

G4: Hier ist $\zeta=10000$ und $\vartheta=0$.

G5: Hier ist $\zeta=10000$ und $\vartheta=-1$.

G6: Hier ist $\zeta=10000$ und $\vartheta=-4$.

Die Problematik dieser einfachen Differentialgleichung liegt darin, daß sich die Jacobimatrix stark ändert und zwar umso heftiger, je größer $\vartheta$ ist. ROW-Verfahren und Verfahren mit Ableitungen haben hiermit große Schwierigkeiten, d.h. die Rechenzeiten werden schnell inakzeptabel. Bei dem Programm LSODE, basierend auf den BDF (lineare Mehrschrittverfahren), und seinen Varianten konnte man diesen Effekt nicht beobachten.

2. Die nicht-steifen Gleichungen aus NSDTST

Es folgen nun die 30 nicht-steifen Gleichungen.

NA. Die erste Problemgruppe A setzt sich aus sehr einfachen, skalaren Gleichungen zusammen. Startzeitpunkt ist bei allen 5 folgenden Problem $t=0$, wie immer, und es wird bis zum Endpunkt $t=20$ integriert.

NA1:

NA2:

NA3:

NA4:

NA5:

NB. Die Problemgruppe NB besteht aus kleineren Systemen. Integriert wird hier ebenfalls immer von $t=0$ bis $t=20$.

NB1:

NB2:

NB3:

NB4:

NB5: Eulersche Gleichungen der Bewegung eines starren Körpers ohne äußere Kräfte.

Die exakten Lösungen sind die Jacobischen elliptischen Funktionen.

NC. Klasse NC enthält schon recht große Differentialgleichungssysteme. Die Probleme NC1 bis NC4 haben alle Bandstruktur und sind linear, homogen und autonom. Dennoch sollte man bei diesen Gleichungen eine $LU$-Zerlegung natürlich vermeiden. Startintegrationszeit ist hier wie immer $t=0$, und es soll bis zum Zeitpunkt $t=20$ hin integriert werden.

NC1:

NC2: Radioaktive Zerfallsreihe. Erfüllt ein Erhaltungsgesetz der Form $v{\mskip 3mu}y(t)\equiv\hbox{const}$, da $v{\mskip 3mu}\dot y\equiv0$, hier mit $v=(1,\ldots,1)$ und $\hbox{const}=1$.

NC3: Semidiskretisierte Wärmeleitungsgleichung in einer Raumrichtung, $u_t=u_{xx}$.

NC4: Wie NC3, jedoch mit 51 Gleichungen, d.h. also $y(t)\in\mathbb{R}^{51}$.

NC5: Dies ist das 5 Körper Problem. Die Differentialgleichungen beschreiben die Bewegung der 5 äußeren Planeten um die Sonne, also Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und Pluto um die Sonne. Merkur, Venus, Erde, Mars und Meteoritengürtel werden zur Sonne hinzugezählt. Die drei räumlichen Koordinaten $x$, $y$ und $z$ des $j$-ten Körpers seien $p_{xj}$, $p_{yj}$ und $p_{zj}$, für $j=1,2,3,4,5$. Jede der $5\times3=15$ Koordinaten erfüllt nun die folgende Differentialgleichung zweiter Ordnung:

und die analogen 2 Gleichungen für $\ddot p_{yj}$ und $\ddot p_{zj}$. Es ist $r_j$ der Abstand des $j$-ten Planeten vom Ursprung, hier der Sonne, also

und $d_{kj}$ (in der obigen Summe der Differentialgleichung) ist die Distanz des $k$-ten Planeten vom $j$-ten Planeten, somit

Schreibt man diese Differentialgleichung um auf ein System erster Ordnung, so resultiert ein System in 30 Dimensionen. Die Gravitationskonstante $\gamma$ ist nun

Die Massen der Planeten in Sonnenmassen sind:

Für Jupiter sind nun Anfangskoordinaten und Anfangsgeschwindigkeit bekannt und lauten wie folgt

Für Saturn sind Anfangskoordinaten und Anfangsgeschwindigkeit

Der Planet Uranus nun hat Koordinaten und Anfangsgeschwindigkeit wie folgt

Neptun schließlich hat Koordinaten und Anfangsgeschwindigkeit

Zum Schluß hat der äußerste, bisher bekannte Zwergplanet Pluto die Anfangskoordinaten und Anfangsgeschwindigkeit von

Integriert wird von $t=0$ bis $t=20$.

Die Herleitung der obigen Differentialgleichung und qualitative Theorie findet man bei Stumpff (1959) und Stumpff (1965). Bei sehr starker Annäherung der Planeten untereinander oder aber bei sehr nahem Aphel, werden sehr kleine Schrittweiten nötig; die Differentialgleichung ist dann fast singulär.

ND. Der Problemkreis ND enthält Orbit-Gleichungen. Anfangsintegrationszeit ist $t=0$, wie immer, und Endzeit ist $t=20$. Die Gleichungen variieren alle nur in einem Parameter, der Ellipsenexzentrizität $\varepsilon$. Die Grundgleichung lautet:

Die exakte Lösung ist

wobei sich $u$ als Lösung der Keplerschen Gleichung ergibt:

ND1: Hier ist $\varepsilon=0.1$.

ND2: Hier ist $\varepsilon=0.3$.

ND3: Hier ist $\varepsilon=0.5$.

ND4: Hier ist $\varepsilon=0.7$.

ND5: Hier ist $\varepsilon=0.9$.

NE. Die Problemklasse NE enthält ausschließlich Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die auf Systeme erster Ordnung umgeschrieben wurden. Gestartet wird die Integration von $t=0$ und endet bei allen Gleichungen bei $t=20$. Über Besselfunktionen gibt es eigene Bücher, siehe Watson, G.N., Watson (1966). Eine Herleitung der van der Polschen und der Duffingschen Gleichung findet man z.B. bei Föllinger (1978). In Werner/Arndt (1986) §3.2, und in Hairer/Wanner/Nørsett (2008) §I.16, wird die van der Polsche Differentialgleichung ebenfalls besprochen.

NE1: Besselsche Differentialgleichung.

NE2: van der Pol Oszillator.

NE3: Duffing.

NE4:

NE5:

NF. Die letzte Klasse NF enthält Differentialgleichungen mit Unstetigkeiten erster Art.

Es ist die Unstetigkeit der Gleichungen, die das hauptsächliche Problem darstellt für jeden automatischen Integrator. Die Funktionsausdrücke sind vergleichsweise schnell auszuwerten. Auch hier wird stets von $t=0$ bis $t=20$ integriert.

NF1:

NF2:

NF3:

NF4:

NF5:

3. Weitere Testgleichungen

1. Byrne/Hindmarsh (1987) geben eine Reihe von steifen Differentialgleichungen an, wie sie auch häufig in der Praxis auftauchen. Vom Problembereich her entstammen sie der Chemie.

P1: Das Problem von Robertson. Diese Gleichungen beschreiben die folgende chemische Reaktion

Dies führt dann schließlich auf eine Differentialgleichung der Form

Man kann zeigen, daß die ersten beiden Komponenten nach unendlich langer Reaktionszeit verschwinden und die letzte Komponente gegen eins strebt, es gilt also

Nach längerer Zeit dominiert bei dieser Gleichung hier $\dot y_2=-10^4y_2$. Für jede Wahl der Anfangswerte beschreibt die Lösung eine stark gedämpfte Exponentialfunktion.

P2: Dies entspricht der Gleichung F4 von oben.

P3: Wieder wird eine chemische, täglich ablaufende Reaktion beschrieben.

Hierbei sind

• $k_i$ die Reaktionsraten,
• $M$ bezeichnet irgendein Molekül zum Abtransport der freiwerdenden Energie,
• $h\nu$ zeigt eine photochemische Reaktion an, und
• $O$, $O_2$ und $O_3$ bezeichnen entsprechend das Sauerstoff Einzelatom, Sauerstoffmolekül und Ozon.

In diesem Beispiel wird die Konzentration von $O_2$ konstant gelassen, also $k_1$ und $k_2$ sind feste Größen, während $k_3$ und $k_4$ sich täglich verändern. Es ist $y_1=[O]$, $y_2=[O_3]$ und $y_3=[O_2]\equiv 3.7\cdot 10^{16}$, und man erhält dann das Differentialgleichungsproblem

Die Reaktion wird also 10 Tage${}={}$864000 Sekunden lang beobachtet. Die Konstanten $k_i$ sind nun

Die Funktionen $k_3$ und $k_4$ enthalten eine Unstetigkeit. Alle Zeitangaben werden in Sekunden gemessen, darum auch die Zahl 43200 Sekunden = 12 Stunden.

Diese Gleichung wird von Shampine (1980)2 als Beispiel dafür angeführt, daß die Konvergenztests in den Programmen GEAR und EPISODE nicht zur vollen Zufriedenheit arbeiten, da die veröffentlichten Daten von Byrne/Hindmarsh/Jackson/Brown (1977) hierauf Hinweise gaben.

P4: Diese Gleichung geht auf Ivo Babuška zurück. In seiner ursprünglichen Form handelte es sich hierbei um eine Randwertaufgabe.

Für den ersten Wert $u$ ist das Differentialgleichungsproblem nicht-steif, für die beiden letzten Werte jedoch steif. Diese Gleichung verdeutlicht den Nutzen von schaltfähigen Programmen ganz besonders.

Im Rahmen eines Schießverfahrens ist der Anfangswert der gewöhnlichen Differentialgleichung nicht bekannt, bestenfalls ein Bereich. Der Typus der Differentialgleichung kann also von einer Komponente des Anfangswertes empfindlich abhängen.

P5: Die folgende Gleichung beschreibt einen Rubin-Laser-Oszillator.

Das Verhalten dieser Gleichung ist am Anfang steif, anschließend gedämpft und oszillatorisch zum Schluß. Man kann zeigen, daß

Die Zeit wird hier in Nanosekunden gemessen; $0.7\cdot 10^6{{\mskip 3mu}\rm ns} = 0.7{{\mskip 3mu}\rm ms}$.

P6: Dies ist die zeitabhängige, partielle Differentialgleichung von Burger, wobei

mit der exakten Lösung

von der auch die Dirichletsche Randbedingung und die Anfangswerte entnommen werden.

Die Funktion $U(t,x)$ beschreibt eine wandernde Welle mit der Geschwindigkeit $\dot x=1/2$. Nach uniformer Diskretisierung der räumlichen Variablen $x$ erhält man ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Die räumlichen Ableitungen werden durch zentrierte endliche Differenzen ersetzt, und man setzt ferner

Es ergibt sich dann

und für die Anfangswerte und Randwerte setzt man

und für die beiden Randpunkte ist

Wichtig ist zu vermerken, daß man zwar die exakte Lösung der partiellen Differentialgleichung kennt, nicht jedoch die Lösung des diskretisierten Problems. Die Jacobimatrix $J$ der obigen, diskretisierten Gleichung hat Tridiagonalgestalt. Die Differentialgleichung von Burger findet man als Testproblem auch beschrieben bei Byrne/Hindmarsh/Jackson/Brown (1977).

Die Probleme P7, P8, P9 und P10 seien hier stellenweise verkürzt angegeben. Die Herleitung dieser Gleichungen ist langwieriger. Zudem erfordern diese Gleichungen, wie auch schon die letzte angegebene, eine Erweiterung der linearen Algebra Routinen in dem Programm TENDLER, wenn man sie ökonomisch lösen möchte.

P7: Gelöst wird hier eine PDE, die durch Semidiskretisierung in eine gewöhnliche Differentialgleichung überführt werden kann. Die PDE lautet

mit $I=2$, $K(z)=10^{-8}\exp(z/5)$, $t\in[0,86400]$ (ein Tag in Sekunden) und $x\in[30,50]$. Der Reaktionsterm $R_i(c_1,c_2,t)$ ist genau wie bei Problem P3. Die Anfangswerte sind

und die Randwerte lauten

P8: Auch hier wird erneut eine PDE durch Semidiskretisierung auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückgeführt. Die gekoppelten Gleichungen lauten

mit $K_h=4\cdot 10^{-6}$, $K_v=10^{-8}\exp(z/5)$, $t\in[0,86400]$ und mit $R_i(c_1,c_2,t)$ wie bei Problem P3 (siehe oben), und es ist $R=(R_1,R_2)$.

Die Differentialgleichung beschreibt ein einfaches Modell der Ozonproduktion in der Stratosphäre. Anfangs- und Randwerte werden durch Polynome gegeben, und die Neumann Randbedingungen sind homogen. Im einzelnen sind: Die homogene Neumann Randbedingung lautet

Die Anfangswerte sind durch Polynome gegeben, welche “in der Mitte” einen stärkeren Anstieg zeigen. Diese Polynome sind mit den Randbedingungen konsistent und lauten

Diese Anfangswerte wurden so bestimmt, daß sie mit tatsächlichen Beobachtungen gut übereinstimmen.

P9: Hier handelt es sich um eine differential-algebraische Gleichung in zwei Dimensionen. Die erste Gleichung ist

und die zweite Bedingung, die zu erfüllen ist, lautet

Hierbei ist $k = \sqrt{-y_2'}$, und die folgenden 15 Konstanten $a_i$ sind festgelegt durch

Gesucht sind $y_1$, $y_2$ und $y_2'$ in dem Intervall $x\in[0,10^7]$. Die Werte $r$, $\rho$, $\mu$, $P_0$, $Q_a$, $Q_{CO}$ und $b$ sind feste Konstanten, die das Modell beschreiben.

P10: Dies ist die Randwertaufgabe von Troesch. Im Intervall $x\in[0,1]$ ist zu lösen

Diese Randwertaufgabe wird ersetzt durch eine zeitabhängige Gleichung

Durch Semidiskretisierung erhält man erneut ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. In diesem Falle wird jedoch keine uniforme Semidiskretisierung gewählt, aufgrund eines starken Anstieges von $u(x)$ bei $x\approx1$.

2. Weitere Differentialgleichungen aus der chemischen Kinetik findet man u.a. bei Karasalo/Kurylo (1981), wo auch Modifikationen an Vielzweck-Integratoren vorgeschlagen werden. Hiermit erreicht man deutlich bessere Laufzeitverhalten für diese Klasse von speziellen Differentialgleichungen aus der Chemie. U.a. findet man dort auch Erfahrungsberichte über

1. Enright's update technique, man vgl. hierzu Enright (1978),
2. abgeschwächte Schrittweitenbegrenzungen; bis auf Ausnahmen bei Fehlertestversagen sind Schrittweitenerhöhungen um den Faktor 10000 jederzeit erlaubt, falls möglich,
3. Speicherung von 10 Iterationsmatrizen $W$ in Hessenbergzerlegung und 10 Pivotvektoren,
4. und weitere Modifikationen.

Hier würde man auch erkennen, welche Vorteile ein schaltfähiges Programm bieten kann. Wie Karasalo/Kurylo (1981) bemerken, stammt ein großer Teil der Jacobimatrixauswertungen aus der Startphase, da sich hier die Schrittweite $h$ schnell über mehrere Größenordnungen ändert und damit sich ebenfalls auch die Iterationsmatrix $W=I-h\gamma J$ ändert, was bei dem verwendeten Hindmarsh-Test zu einer Neuauswertung von sowohl $J$ und $W$ führt. Bei “rein steifen” Differentialgleichungen erzielen schaltfähige Programme gerade in der Startphase die größten Gewinne. Der Rest der Integration stellt sich dann anschliessend natürlich als in etwa gleich aufwendig dar. Dabei hat das schaltfähige Programm allerdings den Vorteil, bei sehr kleinen Schrittweiten und nur schwach steifem Verhalten, ebenfalls noch in den nicht-steifen Integrationsmodus überwechseln zu können.

Die oben von Karasalo und Kurylo durchgeführten Veränderungen an dem Programm GEAR, wären mit dem Programm TENDLER leichter durchführbar, da sie z.T. schon ansatzweise mitberücksichtigt sind. Insbesondere die Speicherung mehrerer Iterationsmatrizen und der Einbau weiterer Iterationsarten ist einfach und schon vorbereitet.

3. Webster/Baker (1986) schlagen jeweils ähnlich aufgebaute Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen vor. Insbesondere haben diese Gleichungen die Eigenschaft, daß man durch Verändern nur weniger Parameter, das Verhältnis von minimal benutzter Schrittweite zu maximal benutzter Schrittweite in weiten Bereichen verändern kann. U.a. schlagen sie vor

mit

Beabsichtigt man zu demonstrieren, welchen Vorteil Programme mit Schrittweitensteuerung gegenüber Programmen ohne Schrittweitensteuerung haben, so sollte man große $k$-Werte mit großen $c$-Werten kombinieren. Die Lösungen dieser Gleichungen sind stets periodisch und sinusförmig.

Als Testprobleme werden jetzt gewählt

1. VSS1: $a=0.157080$, $k=0$ und $c=0$. Dies entspricht dem harmonischen Oszillator.
2. VSS2: $a=0.012717$, $k=100$ und $c=1$.
3. VSS3: $a=0.018092$, $k=1000$ und $c=2$.
4. VSS4: $a=0.028915$, $k=10 000$ und $c=4$.

Die Schrittweitenverhältnisse bewegen sich dann priodisch hin und her zwischen den Werten

Die obigen Werte wurden mit dem Programm RKF45 auf einer Rechenanlage vom Typ VAX 11/780 ermittelt, wobei eine Genauigkeitsanforderung von $\varepsilon=10^{-8}$ gewählt wurde.

4. Hoyer (1984) untersucht im Rahmen der Roboterkinematik die Differentialgleichung

mit dem Steuervektor $u=(u_1,u_2,u_3)^\top$. Hierbei ist zur Abkürzung verwendet worden:

5. Bei {Day, William B.}Day (1987)!William findet man die folgende Differentialgleichung, welche die Verschiebung des Rotorzentrums von seinem Gleichgewichtszustand in einem kartesischen Inertialsystem $(y,z)$ beschreibt. Die Welle des Rotors liege in der $x$-Ebene. Man erhält für den linearen Teil dann die Gleichungen

Dies ist der lineare Anteil der Jeffcott-Gleichung. Hierbei bedeuten

Soll das Modell auch Achskräfte berücksichtigen, welche den Rotor in seiner Position halten, so hat man zu den beiden oben angegebenen Differentialgleichungen entsprechend zu addieren

beziehungsweise

Hierbei ist

Typische Werte sind beispielsweise in dimensionsloser Form

Dabei ist

Das Verhalten der Differentialgleichung ist oszillatorisch. Aufgrund des Vorhandenseins der trigonometrischen Funktionen, ist eine Funktionsauswertung vergleichsweise teuer. Der in der Einleitung beschriebene “Trick” der Vermeidung von Besselfunktionen, lässt sich hier entsprechend ebenfalls gut benutzen.

4. Literatur

1. Arndt, Herbert
2. Bessel, Friedrich Wilhelm (1784–1846)
3. Byrne, George Dennis
4. Byrne, George D. und Hindmarsh, Alan C. und Jackson, Kenneth R. und Brown, H. Gordon: “A Comparison of two ODE Codes: GEAR and EPISODE”", Computers and Chemical Engineering, Vol 1, 1977, pp.133–147
5. Byrne, George D. und Hindmarsh, Alan C.: “Stiff ODE Solvers: A Review of Current and Coming Attractions”, Journal of Computational Physics, Vol 70, No 1, May 1987, pp.5—62
6. Enright, Wayne H.: “Improving the Efficiency of Matrix Operations in the Numerical Solution of Stiff Ordinary Differential Equations”, ACM TOMS, Vol 4, No 2, June 1978, pp.127–136
7. Enright, W.H. und Hull, Tom E. und Fellen, B.M. und Sedgwick, A.E.: “Comparing Numerical Methods for Ordinary Differential Equations”, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol 9, No 13, 1972, pp.603–637
8. Enright, Wayne H. und Hull, Tom E. und Lindberg, B.: “Comparing Numerical Methods for Stiff Systems of ODE's”, BIT, Vol 15, 1975, pp.10–48
9. Enright, Wayne H. und Pryce, J.D.: “Two Fortran Packages for Assessing Initial Value Methods”, ACM TOMS, Vol 13, No 1, March 1987, pp.1–27
10. Euler, Leonhard (1707–1783)
11. Föllinger, Otto (1924–1999)
12. Föllinger, Otto: “Nichtlineare Regelungen I — Grundlagen und Harmonische Balance)”, Oldenbourgh Verlag, München Wien, 2. verbesserte und erweiterte Auflage, 1978
13. Gupta, Gopal K.: “Description and Evaluation of a Stiff ODE Code DSTIFF”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol 6, No 4, October 1985, pp.939–950
14. Hairer, Ernst (*1949)
15. Hairer, E., Wanner, G., Nørsett, S.: Solving Ordinary Differential Equations I – Nonstiff Problems. Springer Berlin, Heidelberg (2008), https://doi.org/10.1007/978-3-540-78862-1
16. Hairer, E., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations II – Stiff and Differential-Algebraic Problems.
17. Hindmarsh, Alan C. (*1942)
18. Hoyer, Helmut (*1950)
19. Hoyer, Helmut: “Verfahren zur automatischen Kollisionsvermeidung von Robotern im koordinierten Betrieb”, Dissertation, Fernuniversität Hagen, 1984, ii+178 S.
20. Jacobi, Carl Gustav (1804–1851)
21. Jeffcott, H.H.
22. Karasalo, Ilkka und Kurylo, John: “On Solving the Stiff ODE's of the Kinetics of Chemically Reacting Gas Flow”, Journal of Computational Physics, Vol 40, No 1, March 1981, pp.167–182
23. Kreiss, Heinz Otto (1930–2015)
24. Nørsett, Syvert Paul (1944–2025)
25. Shampine, Lawrence F.: “Implementation of Implicit Formulas for the Solution of ODEs”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol 1, No 1, March 1980, pp.103–118
26. Shampine, Lawrence F.: “Evaluation of a Test Set for Stiff ODE Solvers”, ACM TOMS, Vol 7, No 4, December 1981, pp.409–420
27. Städter, P., Schälte, Y., Schmiester, L., Hasenauer, J., Stapor, P.L.: Benchmarking of numerical integration methods for ODE models of biological systems. Scientific Reports 11, 2696 (2021)
28. Stumpff, Karl (1895–1970)
29. Stumpff, Karl: “Himmelsmechanik Band I — Das Zweikörperproblem und die Methode der Bahnbestimmung”, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1959, 508 S.
30. Stumpff, Karl: “Himmelsmechanik Band II — Das Dreikörperproblem”, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1965, 682 S.
31. Wanner, Gerhard (*1942)
32. Webster, Max B. und Baker, Paul W.: “A Class of Differential Equations for Testing Variable Step-Size Integration”, Information Processing Letters, Vol 22, No 2. January 1986, pp.103–107
33. Werner, Helmut (1931–1985)